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Questions de classe(s)

Oh ! Les maths (Épisode III)

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Suite de notre série de textes sur un autre enseignement des mathématiques

Pour retrouver l’épisode I Objet de haine... Objet d’amour !

Pour retrouver l’épisode II De la haine à l’amour

Un exemple : l’aventure du négatif

Stendhal, dans un roman quelque peu autobiographique, La vie de Henry Brûlard, raconte son expérience négative à propos de l’enseignement du négatif justement : « Mon enthousiasme pour les mathématiques avaient peut-être eu pour base principale mon horreur pour l’hypocrisie ; l’hypocrisie à mes yeux, c’était ma tante Séraphie, Mme Vignon, et leurs prêtres.

Suivant moi, l’hypocrisie était impossible en mathématiques, et, dans ma simplicité juvénile, je pensais qu’il en était ainsi dans toutes les sciences où j’avais ouï dire qu’elles s’appliquaient. Que devins-je quand je m’aperçus que personne ne pouvait m’expliquer comment il se faisait que : moins par moins donne plus (-×- = +) ? (C’était une des bases fondamentales de la science qu’on appelle « algèbre ».)

Je fus longtemps à me convaincre que mon objection sur -×- = + ne pourrait pas entrer dans la tête de M. Chabert, que M. Dupuy n’y répondrait jamais que par un sourire de hauteur, et que les « forts » auxquels je faisais des questions se moqueraient toujours de moi.

J’en fus réduit à ce que je me dis encore aujourd’hui : il faut bien que – par – donne + soit vrai, puisque évidemment en employant à chaque instant cette règle dans le calcul, on arrive à des résultats « vrais et indubitables ». Je cherchai donc à consulter les articles mathématiques de d’Alembert dans L’ Encyclopédie : leur ton de fatuité, l’absence de culte pour la vérité me choqua fort et d’ailleurs j’y compris peu. »

Ce texte est un passage fort éclairant sur l’aventure humaine du négatif et de l’imaginaire ; les quantités négatives que nous écrivons –3 et –5 par exemple étaient manipulées déjà par Diophante, vers les années 250 ne posaient aucun problème au mathématicien dans sa pratique mais ce n’est qu’au début du XIX e siècle ! que fut inventée la représentation sur une droite munie d’une origine qui nous est si familière et il a fallu attendre 1831 pour que ces quantités ne soient plus considérées comme impossibles, fausses,... dans la théorie et qu’elles accèdent au statut de grandeurs et de nombres.

Stendhal écrit au début des années 1830. Cette aventure peut être partagée avec toute personne, le seul pré-requis est qu’elle ait envie de jouer. Le « faire ensemble » peut être de lire cet extrait de Stendhal, d’y réfléchir ensemble, de le théâtraliser, de le mettre en série avec des textes de Wallis, Descartes, D’Alembert, Lazare Carnot, Argand, Gauss du côté des mathématiciens, et un texte pivot de Kant où mathématiques et philosophie nouent leurs discours ; ces textes (cf Bulletin de
l’APMEP, Association des profs de maths, juillet-août 2006) sont lisibles dès la 4e. Leurs lectures par des enseignants du primaire comme du secondaire en 2005 suscitent un plaisir et une réorganisation de leurs savoirs, des changements de points de vue enrichissants pour tous.

Ceci est un exemple dans lequel sont présentes les conditions pour qu’ un apprentissage des mathématiques puisse être revendiqué comme nécessaire : qu’il soit enrichissant, qu’il montre que les mathématiques ont une histoire et sont liées aux autres activités humaines et qu’on y éprouve le plaisir de faire.

Ce qui nous reste à faire « Nous devons vaincre là où Hegel, Marx et Nietzsche n’ont pas vaincu » (Gilles châtelet, Vivre et penser comme des porcs, Exils, 1998). De Platon à Deleuze, nombre de philosophes ont pratiqué les mathématiques et les ont intégrées à leurs constructions de concepts. La lecture d’extraits de leurs écrits enrichissent nos débats scientifiques.

Hegel, au début du XIXe siècle dans La Science de la logique, a déthéologisé l’infini en distinguant le mauvais infini, celui qui est éternel et n’a pas de fin, et le « bon » infini, celui qui est au cœur d’un rapport, en approfondissant cette notion de rapport entre deux nombres qui court depuis l’Antiquité. Dedekind, à la fin de ce même XIXe, va définir l’infini contre les évidences des axiomes comme le tout est plus grand que la partie en liaison avec Cantor qui, avec sa maxime « les maths c’est la liberté » va, lui, multiplier les infinis. Anna, dans un de ses dialogues avec un amoureux des
maths et son maître, va déthéologiser dieu, en en gardant malheureusement le vocable, mais en le définissant comme le vide à l’intérieur de tout être (in Anna et Mister God, Fynn, éditions du Seuil). Bernard Stiegler parle de l’homme comme celui qui n’a pas de nature et pour qui le vide est l’élément fondateur. Et au XXe siècle, incertitude et incomplétude sont devenus des concepts scientifiques ; une croyance en un fondement absolu fut bien détruit à l’intérieur de la mathématique et s’est répercuté dans d’autres domaines. Le seul fondement c’est qu’il n’y a pas de fondement absolu et le travail reste à faire pour que ne soient pas enfouies les avancées dans la construction de l’humain.

On pourrait imaginer des livres « dont vous êtes l’héroïne, le héros » au sens où nous le sommes toutes et tous, et proposer, dans ces livres, des chemins divers selon les sensibilités diverses où puissent se vivre des valeurs qui nous tiennent à cœur : passion, plaisir, persévérance, refus de la compétition, refus de l’asservissement, autrement dit vivre l’offensive de la pensée de la liberté, ce qui en chacun(e) augmente notre puissance d’agir comme nous l’a proposé Spinoza. Et, quitte à me répéter, il s’agit aussi de garder toujours présents les présupposés philosophiques : tout savoir est réponse à une question, nous sommes toutes et tous plus intelligent(e)s que nous le croyons, tout savoir est une aventure humaine inscrite dans l’histoire, la géographie en lien avec les autres domaines.

Maryvonne Menez, texte paru dans N’Autre école, n° 13.

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